Мировые константы «пи» и «e» в основных законах физики и физиологии

	Жрецы Древнего Вавилона посчитали, что солнечный диск укладывается на небосводе от рассвета до заката 180 раз, и ввели новую единицу измерения — градус, равный его угловому размеру.

	Размеры природных образований — песчаных дюн, холмов и гор — увеличиваются с каждым шагом в среднем в 3.14 раза.

	Чешуйки сосновых шишек и завитки раковин многих моллюсков располагаются по логарифмическим спиралям.

	Маятник, качаясь без трения и сопротивления, сохраняет постоянную амплитуду колебаний. Появление сопротивления приводит к затуханию колебаний по экспоненте.

	В очень вязкой среде отклонённый маятник движется к положению равновесия по экспоненте.

	Логарифмическая спираль пересекает все лучи, выходящие из точки «0», под одинаковыми углами.

	График функции arcsin (x), обратной к функции sin (х).

	График функции arctg (x), обратной к функции tg (х).

	Функция нормального распределения (распределение Гаусса). Максимум её графика отвечает наиболее вероятному значению случайной величины (например, длины предмета, измеренной линейкой), а степень «расплывания» кривой зависит от параметров «α» и «сигма».

Наверно, любой абитуриент или студент на вопрос, что такое числа и е, ответит: — это число, равное отношению длины окружности к её диаметру, а е — основание натуральных логарифмов. Если попросить определить эти числа более строго и вычислить их, студенты приведут формулы:

Всё это так, но, как известно, числа и е входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Значит, они отражают какие-то общие законы природы. Какие именно? Определения этих чисел через ряды, несмотря на их правильность и строгость, всё же оставляют чувство неудовлетворённости. Они абстрактны и не передают связи рассматриваемых чисел с окружающим миром посредством повседневного опыта. Не удаётся найти ответы на поставленный вопрос и в учебной литературе.

Между тем можно утверждать, что константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а — с изотропностью пространства. Тем самым они отражают законы сохранения: число е — энергии и импульса (количества движения), а число — вращательного момента (момента импульса). Обычно столь неожиданные утверждения вызывают удивление, хотя по существу, с точки зрения теоретической физики, в них нет ничего нового. Глубинный смысл этих мировых констант остается terra incognita для школьников, студентов, и, по-видимому, даже для большинства преподавателей математики и общей физики, не говоря уже о других областях естествознания и экономики.

На первом курсе ВУЗа можно поставить студентов в тупик таким, например, вопросом: почему при интегрировании функций типа 1/(х²+1) появляется арктангенс, а типа — арксинус: круговые тригонометрические функции, выражающие величину дуги окружности? Иначе говоря, откуда при интегрировании «берутся круги» и куда они исчезают затем при обратном действии — дифференцировании арктангенса и арксинуса? Вряд ли на поставленный вопрос ответит вывод формул дифференцирования и интегрирования.

Далее, на втором курсе ВУЗа при изучении теории вероятностей число появляется в формуле для закона нормального распределения случайных величин; по ней можно, например, вычислить, с какой вероятностью монета упадет на герб любое число раз при, скажем, 100 подбрасываниях. А здесь где круги? Неужели сказывается форма монеты? Нет, формула для вероятности такая же и для монеты квадратной формы. И в самом деле — вопросы непростые.

А вот природу числа е полезно знать поглубже студентам-химикам и материаловедам, биологам и экономистам. Это поможет им понять кинетику распада радиоактивных элементов, насыщения растворов, износа и разрушения материалов, размножения микробов, воздействия сигналов на органы чувств, процессов накопления капиталов и т.д. — бесконечного множества явлений в живой и неживой природе и деятельности человека.

Сначала сформулируем первый основной тезис, а затем поясним его смысл и следствия.

1. Число отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению. С изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента.

Отсюда вытекают общеизвестные следствия, которые изучают в средней школе.

Следствие 1. Длина дуги окружности, вдоль которой умещается её радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу — радиан.

Эта единица безразмерная. Чтобы найти число радианов в дуге окружности, надо измерить её длину и разделить на длину радиуса этой окружности. Как мы знаем, вдоль любой полной окружности её радиус укладывается приблизительно 6.28 раза. Точнее, длина полной дуги окружности составляет 2 радиан, причём в любых системах счисления и единицах длины. Когда изобретали колесо, оно получалось одинаковым и у индейцев Америки, и у кочевников Азии, и у негров Африки. Только единицы измерения дуги были разными. Так, наш угловой и дуговой градус был введен вавилонскими жрецами, посчитавшими, что диск Солнца, находящегося почти в зените, укладывается 180 раз на небосводе от рассвета до заката. 1 градус 0.0175 радиан, и соответственно, 1 радиан 57.3°.

Можно утверждать, что и гипотетические инопланетные цивилизации без труда поняли бы одна другую, обменявшись посланием, в котором окружность разделена на шесть частей «с хвостиком»; это означало бы, что «партнёр по переговорам» уже как минимум прошёл стадию изобретения колеса и знает, что такое число .

Следствие 2. Предназначение тригонометрических функций — выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве.

Из сказанного ясно, что аргументы тригонометрических функций в принципе безразмерны, как и у других типов функций, т.е. это действительные числа — точки числовой оси, которые не нуждаются в градусном обозначении.

Опыт показывает, что школьники, студенты колледжей и ВУЗов не без труда привыкают к безразмерным аргументам у синуса, тангенса и т.д. Далеко не каждый абитуриент сможет без калькулятора ответить на вопрос, чему приблизительно равен cos (1) или arctg /3. Последний пример особенно сбивает с толку. Часто говорят, что это бессмыслица: «дуга, арктангенс которой равен 60°». Если сказать именно так, то ошибка будет в неправомочном применении градусной меры к аргументу функции. Правильный ответ: arctg (3.14.../3) arctg (1) /4 3/4. К сожалению, сплошь и рядом абитуриенты и студенты говорят, что = 180°, после чего приходится их поправлять: радиан равно 180°, а в десятичной системе счисления равно 3.14...

Разберём ещё одну ситуацию, встречающуюся в теории вероятностей. Она касается важной формулы вероятности появления случайной величины (или нормального закона распределения вероятностей), в которую входит число . По этой формуле можно, например, вычислить матрицу вероятности попадания осколков ракеты в летящий самолёт противника, или, к примеру, вероятность падения монеты 50 раз «орлом» или «решкой» при 100 подбрасываниях.

Итак, откуда взялось в ней число , ведь никакие круги или окружности там вроде бы не просматриваются. А суть в том, что монета падает случайным образом в сферически симметричном пространстве, по всем направлениям которого и должны равноправно учитываться случайные колебания. Математики так и делают, интегрируя по кругу и вычисляя так называемый интеграл Пуассона, который равен и входит в указанную формулу вероятности. Наглядной иллюстрацией таких колебаний служит пример со стрельбой по мишени в неизменных условиях. Дырочки на мишени рассеяны по кругу с наибольшей плотностью около центра мишени, а вероятность попадания в каждую точку мишени можно вычислить по всё той же формуле, содержащей число .

Попробуем разобраться в явлениях, причины которых далеко не ясны, но которые тоже, возможно, не обошлись без числа .

Отечественный географ В.В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов в следующем ряду: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы Кавказа, Гималаев и др. Оказалось, что в среднем увеличение размера составляет 3.14. Аналогичная закономерность, похоже, обнаружена недавно в рельефе Луны и Марса. Пиотровский пишет: «Тектонические структурные формы, образующиеся в земной коре и выраженные на её поверхности в виде форм рельефа, развиваются в результате каких-то общих процессов, происходящих в теле Земли, они пропорциональны размерам Земли». Как выяснилось позже, они пропорциональны соотношению её линейных и дуговых размеров.

В основе указанных явлений, возможно, лежит так называемый закон распределения максимумов случайных рядов, или «закон троек», сформулированный в 1927 году Е.Е. Слуцким. Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн, что знали ещё древние греки. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей. Так образуется знаменитый девятый вал. Он — пик «периода второго ранга».

Некоторые учёные предполагают, что по закону троек происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей. Интервалы между их максимумами составляют девять-двенадцать лет или приблизительно 3². Как считает доктор биологических наук Г. Розенберг, можно продолжить построение временных последовательностей следующим образом. Период третьего ранга 3³ соответствует интервалу между сильными засухами, составляющему в среднем 27-36 лет; период 3⁴ — циклу вековой солнечной активности (81-108 лет); период 3⁵ — циклам оледенений (243-324 года). Совпадения станут ещё лучше, если мы отступим от закона «чистых» троек и перейдём к степеням числа . Кстати, их очень легко вычислять, так как ² почти равно 10. Можно и дальше продолжать подгонку циклов геологических эпох и периодов под целые степени тройки или 3.14. Идея о неочевидной роли числа во многих геологических и биологических явлениях, похоже, не совсем пустая — и, возможно, в будущем она ещё себя проявит.

Теперь перейдём ко второй великой мировой константе — числу е. Математически безупречное определение числа е с помощью ряда, приведенного выше, по существу, никак не проясняет его связи с физическими или иными природными явлениями. Как же подойти к этой проблеме? Вопрос непростой. Начнем, пожалуй, со стандартного явления распространения электромагнитных волн в вакууме (причём вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума).

Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну, с амплитудой, равной 1, описывает экспоненциальная функция:

e^iβt = cos βt + isin βt.

Где β — частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул — формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (1707-1783) по первой букве его фамилии и названо число е.

Указанная формула хорошо известна студентам, но её необходимо пояснить учащимся школ, ибо в наше время из обычных школьных программ исключены мнимые (они же комплексные) числа. Комплексное число z = x + iy состоит из двух слагаемых: чисел действительного (x) и мнимого, которое представляет собой действительное число у, умноженное на мнимую единицу . Действительные числа отсчитывают вдоль действительной оси 0_х, а мнимые — в том же масштабе вдоль мнимой оси 0_у, единицей которой служит i, причём длина этого единичного отрезка есть модуль | i | = 1. Каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами (х,у), а необычный вид числа е с показателем, содержащим мнимые единицы i, означает наличие незатухающих колебаний, описываемых синусоидой и косинусоидой.

Ясно, что незатухающая волна демонстрирует соблюдение закона сохранения энергии для электромагнитной волны в вакууме. Такая ситуация имеет место при «упругом» взаимодействии волны со средой без потерь её энергии. Формально это можно выразить так: если перенести начало отсчёта по оси времени, энергия волны сохранится, так как у гармонической волны останутся те же амплитуда и частота, то есть энергетические единицы, а изменится лишь её фаза, часть периода, отстоящая от нового начала отсчёта. Но фаза на энергию не влияет по причине однородности времени при смещении начала отсчёта. Итак, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) законен в силу однородности времени t. Теперь, наверно, в принципе понятно, почему однородность по времени приводит к закону сохранения энергии.

Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером её может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси 0_х запишется как:

e^iх = cos х + isin х.

Ясно, что и в этом случае трансляция вдоль х не изменит ни косинусоиды, ни синусоиды, если пространство однородно вдоль этой оси. Опять-таки изменится лишь их фаза. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения количества движения (импульса), то есть массы, умноженной на скорость. Пусть теперь пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неодинаковой и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой или волной с данным импульсом.

Теперь можно сформулировать второй основной тезис:

2. Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии — через однородность времени, и импульса — через однородность пространства.

И всё-таки, почему именно число е, а не какое-то другое вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Эту проблему автор обсуждал с теоретиком, доктором физико-математических наук В.Д. Эфросом, и мы попытались пояснить ситуацию следующим образом.

Важнейший класс процессов — линейные и линеаризованные процессы — сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (этот тип уравнений изучается на первом-втором курсах ВУЗов и колледжей). А её ядром служит приведенная выше формула Эйлера. Так что решение содержит комплексную функцию с основанием е, такую же, как уравнение волны. Причём именно е, а не другое число в основании степени. Потому, что только функция е^хне изменяется при любом числе дифференцирований и интегрирований.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = e^(α+iβ)t = e^αt(cos βt + isin βt).

Мы видим, что формула Эйлера умножается здесь на действительную переменную величину e^αt, которая есть амплитуда волны, изменяющаяся во времени. Выше мы полагали её для простоты постоянной и равной 1. Так можно делать в случае незатухающих гармонических колебаний, при α = 0. В общем же случае любой волны поведение амплитуды зависит от знака коэффициента α при переменной t (времени): если α > 0, амплитуда колебаний возрастает, если α < 0, затухает по экспоненте.

Возможно, последний абзац труден для выпускников школ. Но он, однако, должен быть понятен студентам ВУЗов и колледжей, которые основательно штудируют дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте амплитуда.

Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если же отклонить не слишком массивный маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно двигаться к положению равновесия, все более замедляясь.

Теперь из тезиса 2 можно вывести такое следствие:

Следствие 1. При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0, то есть при нулевой частоте, действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине.

Сформулированный принцип математически выглядит так: ∆I ∼ I∆t, где, допустим, I — сигнал, а ∆t — малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ∆I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим ln (I) ∼ kt. Или: I ∼ e^kt — закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала, в зависимости от знака k. Таким образом, закон пропорциональности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е.

По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идёт множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т.д. Особо отметим универсальный психофизический закон Вебера-Фехнера. Он гласит: сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения.

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению). Согласно этому закону:

• - малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения;
• - в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов.

Возьмём для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара, но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться по силе в ∼10¹⁰, а ухом — в ∼10¹² раз! Но живая природа приспособилась к таким диапазонам. Она защищается, логарифмируя (путём биологического ограничения) поступающие раздражители, чтобы рецепторы не были разрушены.

На законе Вебера-Фехнера основана широко применяемая логарифмическая (децибельная) шкала силы звука, в согласии с которой работают регуляторы громкости аудиоаппаратуры: их смещение пропорционально воспринимаемой громкости — но не силе звука.

Ощущение пропорционально lg/_o, и за порог слышимости принята величина _o, равная 10^-12 Дж/м²с. На пороге слышимости имеем lg (1) = 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шёпота, которое выше порога на 1 Бел по шкале логарифмов. Усиление звука в миллион раз от шёпота до крика (до 10^-5Дж/м²с) по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков или на 6 Бел.

Наверное, подобный принцип оптимально экономичен и при развитии многих организмов. Это можно наглядно наблюдать по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Расстояние от центра прирастает по закону r = ae^kj. В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию, что легко видеть, если взять производную от записанной функции. По логарифмической спирали выполняют профили вращающихся ножей и фрез.

Следствие 2. Наличие только мнимой части функции при α = 0, β 0 в решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами описывает множество линейных и линеаризованных процессов, в которых имеют место незатухающие гармонические колебания.

Это следствие возвращает нас к уже рассмотренной выше модели.

Следствие 3. При реализации следствия 2 происходит «смыкание» в единой формуле чисел и е посредством исторической формулы Эйлера в её первоначальном виде:

еⁱ = -1.

В таком виде Эйлер впервые опубликовал свою экспоненту с мнимым показателем степени. Нетрудно выразить её через косинус и синус в левой части. Тогда геометрической моделью этой формулы будет движение по окружности с постоянной по абсолютному значению скоростью, которое есть сумма двух гармонических колебаний. По физической сущности в формуле и её модели отражаются все три фундаментальных свойства пространства и времени, их однородность и изотропность — а тем самым и все три закона сохранения.

«Наука и Жизнь»,
№2, 2004 г.